梯度算法之梯度上升和梯度下降

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函数y=f(x)的增量

算法过程

因此

很多 很多 :

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http://blog.csdn.net/walilk/article/details/400978864

处的导数,并说f(x)在

)处对x的偏导数,记为:

https://www.cnblogs.com/pinard/p/59704003.html

4)导函数在x1 处 为 0,若 x<1 时,f’(x) > 0 ,这 f(x) 递增,若f’(x)<0 ,f(x)递减

4):更新所有的 θ,对于θi,其更新表达式如下。更新完毕后继续转入步骤1)。

区别:

导数指的是一元函数中,函数y=f(x)某某些沿x轴正方向的的变化率;

偏导数指的是多元函数中,函数y=f(x,y,z)在某某些沿某一坐标轴正方向的变化率。

先决条件:选择优化模型的假设函数和损失函数

这里假定线性回归的假设函数为hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn,其中 θi(i=0,1,2...n) 为模型参数(公式中用θ代替),xi(i=0,1,2...n)为每个样本的n个底部形态值。

函数在某某些的梯度是原来一有另十个 向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值。

关于导数的说明

2.算法相关参数初始化:

θ 向量才能初始化为默认值,因此调优后的值。算法终止距离 ε ,步长 α 和 “梯度下降的代数依据”描述中一致。

fy(x,y,z)=limΔy0f(x,y+Δy,z)f(x,y,z)Δy

位于,则称z=f(x,y)在点(

3)对于任一 x 属于 I ,都对应着函数f(x)的一有另十个 导数,你相似函数叫做原来函数f(x)的导函数

zx,fx,zx,fx(x,y),

算法参数的初始值选择。 初始值不同,获得的最小值还要因此不同,因此梯度下降求得的很多 很多 局部最小值;当然因此损失函数是凸函数则一定是最优解。因此有局部最优解的风险,还要多次用不同初始值运行算法,关键损失函数的最小值,选择损失函数最小化的初值。

注意点:

1)梯度是一有另十个 向量

2)梯度的方向是最大方向导数的方向

3)梯度的值是最大方向导数的值

limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx

fy=2y(x2+y2)2

很多 很多

梯度上升和梯度下降的分析依据是一致的,只不过把 θ 的更新中 减号变为加号。

其中

xx¯std(x)

3.归一化。因此样本不同底部形态的取值范围不一样,因此原因分析分析迭代迅速,为了减少底部形态取值的影响,才能对底部形态数据归一化,可是我要 很多 对于每个底部形态x,求出它的均值 x¯ 和标准差std(x),因此转化为:

偏导数的几何意义:

1:偏导数z=fx(x0,y0)表示的是曲面被 y=y0 所截得的曲线在点M处的切线M0Tx对x轴的斜率

2:偏导数z=fy(x0,y0)表示的是曲面被 x=x0 所截得的曲线在点M处的切线M0Ty对y轴的斜率

grad(1x2+y2)=(2x(x2+y2)2,2y(x2+y2)2)

limΔx0f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)Δx

3.算法过程

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θ=θαθȷ(θ)

位于,则称极限值为f(x)在

ΔyΔx=f(x0+Δx)f(x0)Δx

fz(x,y,z)=limΔz0f(x,y,z+Δz)f(x,y,z)Δz

因此函数z=f(x,y)在区域D内任某些(x,y)处对x的偏导数都位于,这麼 你相似偏导数很多 很多 x,y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数,记做

lf(x0,x1,...,xn)=limρ0ΔyΔx=limρ0f(x0+Δx0,...,xj+Δxj,...,xn+Δxn)f(x0,...,xj,...,xn)ρ

fx(x,y,z)=limΔx0f(x+Δx,y,z)f(x,y,z)Δx

Github:

1)点导数是因变量在x0 处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢成都

2):用步长乘以损失函数的梯度,得到当前位置的下降距离,即

f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)

x0+Δx

参考资料:

,

平均变化率的极限

在机器学习算法中,在最小化损失函数时,才能通过梯度下降思想来求得最小化的损失函数和对应的参数值,反过来,因此要求最大化的损失函数,才能通过梯度上升思想来求取。

处可导或有导数。当平均变化率极限不位于时,很多 很多 f(x)在

表示样本输出y的第i个元素,

函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在 x0 处有增量Δx 时,相应的有函数增量

ȷ(θ0,θ1)=i=0m(hθ(xi)yi)2

θi=θiαȷ(θ1,θ2,...,θn)θi

θȷ(θ)

则对应选定得损失函数为:

1):选择当前损失函数的梯度,对于θi,其梯度表达式为:

θiȷ(θ1,θ2,...,θn)

算法相关参数的初始化

主很多 很多 初始化 θ0,θ1...,θn,算法终止距离 ε 以及步长 α。在这麼 任何先验知识的愿意,我喜欢将所有的 θ 初始化为0, 将步长初始化为1。在调优的愿意再优化。

前边导数和偏导数的定义中,均是沿坐标轴正方向讨论函数的变化率。这麼 当讨论函数沿任意方向的变化率时,也就引出了方向导数的定义,即:某某些在某一趋近方向上的导数值。

之比:

1)步长(learning rate):步长决定了在梯度下降迭代过程中,每一步沿梯度负方向前进的长度

2)底部形态(feature):指的是样本中输入部门,比如样本(x0,y0),(x1,y1),则样本底部形态为x,样本输出为y

3)假设函数(hypothesis function):在监督学习中,为了拟合输入样本,而使用的假设函数,记为hθ(x)。比如对于样本xi,yi(i=1,2,...n),才能采用拟合函数如下: hθ(x)=θ0+θ1x

4)损失函数(loss function):为了评估模型拟合的好坏,通常用损失函数来度量拟合的程度。损失函数极小化,原因分析分析拟合程度最好,对应的模型参数即为最优参数。在线性回归中,损失函数通常为样本输出和假设函数的差取平方。比如对于样本(xi,yi)(i=1,2,…n),采用线性回归,损失函数为:

https://www.zhihu.com/question/246584002

ρ=(Δx0)2+...+(Δxj)2+...+(Δxn)2

表示样本底部形态x的第i个元素,

http://www.doc88.com/p-7844239247737.html

Δy=f(x0+Δx)f(x0)

与自变量的增量

相似:

函数 f(x,y)=1x2+y2 ,分别对x,y求偏导数得:

通俗的解释是: 大家不仅要知道函数在坐标轴正方向上的变化率(即偏导数),因此还要设法求得函数在某些特定方向上的变化率。而方向导数很多 很多 函数在某些特定方向上的变化率。

 

设导数 y = f(x) 在 x0的某个邻域内有定义,当自变量从 x0 变成

偏导数的概念才能推广到二元以上的函数,如 u = f(x,y,z)在x,y,z处

5)f’(x0) 表示曲线y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的切线斜率

fx=2x(x2+y2)2

αȷ(θ1,θ2,...,θn)θi

为假设函数。

ȷ(θ)=(XθY)T(XθY)

2)因此函数y = f(x)在开区间 I 内的每点都可导,就称f(x)在开区间 I 内可导

3):选择有无所有的θi ,梯度下降的距离都小于 ε,因此小于ε,则算法停止,当前所有的 θi(i=1,2,3,...,n) 即为最终结果。因此执行下一步。

与方向导数有一定的关联,在微积分上端,对多元函数的参数求 偏导数,把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来,很多 很多 梯度。比如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数,求得的梯度向量很多 很多 (fx,fy)T ,简称grad f(x,y)因此 f(x,y)。对于在点(x0,y0)的具体梯度向量很多 很多 (fx0,fy0)T.因此f(x0,y0),因此是十个 参数的向量梯度,很多 很多 (fx,fy,fz)T,以此类推。

才能看出导数与偏导数本质是一致的,还要自变量趋近于0时,函数值的变化与自变量的变化量比值的极限,直观的说,偏导数可是我要 很多 函数在某某些沿坐标轴正方向的变化率。

zx=2x+3y

原来底部形态的新期望为0,新方差为1,迭代次数才能大大加快。

称为f(x)的平均变化率。

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ȷ(θ0,θ1,...,,θn)=i=0m(hθ(x0,x1,...,xn)yi)2

这麼 你相似梯度向量求出来有什么意义呢?他的意义从几何意义上讲,很多 很多 函数变化增加最快的地方。具体来说,对于函数f(x,y),在点(x0,y0),沿着梯度向量的方向很多 很多 (fx0,fy0)T的方向是f(x,y)增加最快的地方。因此说,沿着梯度向量的方向,更加容易找到函数的最大值。反过来说,沿着梯度向量相反的方向,可是我要 很多 (fx0,fy0)T的方向,梯度减少最快,可是我要 很多 更加容易找到函数的最小值。

第一次看见随机梯度上升算法是看《机器学习实战》这本书,当时也是一知半解,很多 很多 为宜 知道和高等数学中的函数求导有一定的关系。下边大家就好好研究下随机梯度上升(下降)和梯度上升(下降)。

算法的步长选择。在前面的算法描述中,我提到取步长为1,因此实际上取值取决于数据样本,才能多取某些值,从大到小,分别运行算法,看看迭代效果,因此损失函数在变小,说明取值有效,因此要增大步长。前面说了。步长很多 ,会原因分析分析迭代过快,甚至有因此错过最优解。步长太小,迭代时延太慢,很长时间算法还才能始于。很多 很多 算法的步长还要多次运行后才能得到一有另十个 较为优的值。

处不可导或这麼 导数。

zy=2y+3x

例子:

z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数。